Set Theory से सम्बन्धित प्रश्नों को हल करना सीखे

By | December 3, 2019
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नमस्कार दोस्तों आज  हम Set Theory से सम्बंधित प्रश्नो को हल करना सीखेंगे। Set Theory की आवस्यकता हमें  प्रयिकता (probability) के प्रश्नो को हल करने में पड़ती है. समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) का use  प्रायः सबंध (Relation) और फलन (Function) के प्रश्नो को हल करने के लिए किया जाता है.

दोस्तों Relation, function और Probability का चर्चा हम अपने अगले आने वाले Blog Post में  detail से करेंगे।

Learn Set Theory

 

 

 

 

 

 

 

 

Set Theory का विकास जर्मनी के Famous Mathematician, Georg Cantor ने किया था. First of all हम Set Theory को इसके difinition के साथ समझेंगे। 

Set Theory क्या है (Definition of Set-Theory)

Diff- किसी भी राशी को सुपरिभासीत तरीके से संग्रह करने की प्रक्रिया Set Theory कहलाती है.अब हम इसे उदहारण के साथ समझेंगे।

1 . 10 से कम विसम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय (Odd Natural Number)-Or , 1,3,5,7,9

यदि आप Odd Natural Number के बारे में नहीं जानते है तो हमारा निचे दिए गए पोस्ट को जरूर पढ़ें 

संख्याओं की प्रकार और विभाज्यता के नियम आपके कम्पटीशन परीक्षा में जरूर पूछे जायेंगे

2.English Alphabets (अंग्रेजी वर्णमाला) के Vowel (स्वर)

3.210 के सभी Prime Factor (अभाज्य गुणनखंड)

निचे कुछ समुच्चयों के प्रकार को उदहारण के साथ समझाया गया है | 

  1. N=प्राकृतिक संख्याओं  का समुच्चय (Set of natural number)
  2. Z= पूर्णाकों का समुच्चय (Set of Integer)
  3. Z+ = धन पूर्णाकों का समुच्चय (Set of Positive Integer)
  4. Z = ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय (Set of Negative Integer)
  5. Q = परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Set of Ratitional Number)
  6. Q = ऋणात्मक परिमेय संख्याओं  का समुच्चय (Set of Negative Rational Number)
  7. Q+ = धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Set of Positive rational number)
  8. Q- = ऋण परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Set of Negative Rational Number)
  9. R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (Set of Real Nunbers)
  10. R+ = धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (Set of Positive Real Number)
  11. R- = ऋण वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (Set of Negative Real Number)

Set Theory के अध्यन के लिए हम हमें कुछ Main Points को ध्यान में रखना चाहिए

  1. Set Theory  के लिए वस्तु (object) अवयव (Elements) और सदस्य एक पर्यावाची शब्द है.
  2. समुच्चय को अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अच्छरों से जैसे – A , B, C, D, E, X, Y, Z से निरूपित किया जाता है.
  3. समुच्चय के अवयवों(Elements ) को अंग्रेजी वर्णमाला (English Alphabets) के छोटे अच्छरों से निरूपित किया जाता है. Exp – a,b,c,d,e,f………
  4. यदि a ∈ A लिखा जाता है, यदि Elements, a समुच्चय A  में है. उदहारण के लिए यदि a, अंग्रेजी वर्णमाला में  Vowel (V ) का अवयव है तो- a ∈A , but b∉ A, क्योकि b, A का अवयव नहीं है.अर्थात Vowel नहीं है.
  5. Similarally, यदि संख्या 30 के अभाज्य गुंदानखंडो (Prime Factor) 3,2 और 5 है. मन की P, 30 के अभाज्य गुणनखंडो की समुच्चय हो तो 3 ∈ P, 2 ∈ P,  5 ∈ P, but, 15 ∉ P.   

Types of Set Theory (समुच्चय के प्रकार )

दोस्तों, समुच्चय(Set) को निरूपित करने के लिए प्रायः दो विधियों का प्रयोग कीया जाता है.

  1. Tabular Methods or Roster Methods (सारणीबद्ध रूप )
  2. Property Methods or Set Builder Method (समुच्चय निर्माण विधि )

अब हम इसे एक- एक कर के समझेंगे- 

Tabular Methods or Roster Methods (सारणीबद्ध रूप ):-

Tabular methods से समुच्चय के सारे दिए गए Elements  को डेकोरेट किया जाता है. और (,) के द्वारा अलग किया जाता है.
और सारे Element को Curly brackets ({}) के भीतर लिखा जाता है। हम इसे निचे दिए गए उदहारण के साथ समझने का प्रयास करेंगे। 
 
Exp1. 42 को divide करने वाली सभी Natural Numbers का sets 
U = {1,2,3,6,7,14,21,42}
 
Exp2. अंग्रेजी वर्णमाला (English Alphabets) के सभी स्वरों का समुच्चय 
U= {a,e,i,o,u}
 
Exp3. सभी विसम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय 
U= {1,3,5,,…..}
Note- 
  1. यहाँ पर ऊपर दिए गए उदहारण में दोस्तों 5 के बाद तीन डॉट्स (…) है, जो यह बतलाते है की दी गई संख्याएँ अंतहीन है. अर्थात इसके आगे भी संख्याये है. 
  2. Roster Methods me किसी भी अवयव का Repeatation नहीं होता है.
  3. सारे अवयव (elements) एक दूसरे से भिन्न होते है.
  4. उदादरण के लिए School शब्द के सभी अच्छरों का समुच्चय :- S ={ s,c,h,o.l }

Property Mathods or Set Builder Mathods (समुच्चय  निर्माण विधि ):-

इस विधि में हम किसी भी समुच्चय (sets) के सभी Elements (अवयवों ) में एक मिलता जुलता (Common ) गुण होता है. जो की समुच्चय से बाहर किसी भी अवयव (element) में नहीं होता है.

अब हम इसे निचे दिए गए उदहारण के साथ समझेंगे।

Exp1. अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वर (Vowel of English Alphabets)

Roster Mathods, V= {a,e,i,o,u}

Set Builder Mathods V= {x/x  एक English Alphabets के Vowel  है }, इसको हम पढ़ेंगे “सभी x का Set जहाँ x, अंग्रेजी वर्णमाला का स्वर है.

दोस्तों यहाँ ध्यांन देने वाली बात यह है की x के  जगह पर y,z भी लिख सकते है.

अब हम इसे कुछ दिए गए उदाहरणों के साथ समझेंगे-

Exp1. Roster Mathods :- A ={ 4,5,6,7,8}

Set Builder Mathods :- A ={x/x एक Natural Number (प्राकृतिक संख्या ) का समुच्चय है, जहाँ 3 <x <10 }

Exp2. Roster Mathods:- B ={2,6,7,21,42}

Set Builder Mathods:- B= { x/x एक प्राकृतिक संख्या है जो 42 को विभाजित करती है }

Exp3. Roster Mathods :-  C= {1,3,5,7,…..}

Set Builder Mathods:- C= {x/x  एक विषम प्राकृतिक संख्या है }

Exp 4. Roster Mathods:-  D = {1,-2}

            Set Builder Mathods:- D= {x/x,  x2 +x-2=0 का एक हल है } 

Exp 5. Roster Mathods:- {1,2,3,4,5,6}

       Set Builder Mathods:- X = {x/x एक धन पूर्णांक है , और x 2 <40 }

अब हम इसपर आधारित कुछ Important Question को हल करेंगें।

 दिए गए Set Builder के रूप में समुच्चयों को Roster Form में लिखें

1. A = {x /x  =n2, जहाँ n ∈ N} 

हल – दोस्तों यहाँ सबसे अधिक ध्यान देने वाली बात है- n ∈ N

N का मतलब Natural Number होता है. अर्थात n एक Natural Number है. अतः –

n = {1,2,3,4,5,6……..}

अब, x/x = n2 है , अर्थात x/x = 12, 22, 32, 42, …….

=>x/x =1, 4, 9, 16, 25, 36 ……

अर्थात, A = {1, 4, 9, 16, 25, 36 ……}

2. A={x/x  =n/n+1, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है(Natural Number), और 1 ≤n ≤6 } 

हल – यहाँ पर n एक Natural Number है,

So, n ={1,2,3,4,5,6,………………}

दिया गया है की 1 ≤n ≤  6, So, n={1,2,3,4,5,6……….} 

अब हम प्रश्न पर आयेंगें –

x/x= n/n+1 = 1/1+1 ,2/2+1, 3/3+1, 4/4+1, 5/5+1, 6/6+1 }

Finally, इसे हम Roster Mathods में इसप्रकार लिखेगे – 

A ={1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7 } Ans.

3. A = {x/x  एक Positive Integer ( धन पूर्णांक)  है जो 18 का भाजक है }

हल :- यहाँ पर x, 18 का भाजक है, so, x =  1,2,3,6,9 18 = +1, +2,+3,+6,+9,+18

Roster Mathods:- A = {1,2,3,6,9,18} Ans.

4. A= {x/x  एक पूर्णाक है और x 2 – 9 = 0 } 

हल – प्रश्न से दिया गया है की – x – 9 =0 ; x  = ±√9

=>x =+3 , -3  so, A = {+3, -3} Ans.

5. A= {x/x  एक  पूर्णांक है, और x+1 =1}

हल- x +1 = 1 , x= +1-1 = 0

so, A ={0} Ans 

दोस्तों finally मै आसा करता हु की Basics of Set Theory आपको समझ में आ गया होगा  So यदि इस पोस्ट में आपको कोई doubt हो या कुछ न समझ में आया हो  तो हमें कमेंट के जरिये बताये  यदि आपको हमारा यह पोस्ट पसंद आया हो तो इसे like करे share करे-

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