Special angles trigonometric ratios से सम्बंधित प्रश्न हल करें

By | August 30, 2018
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नमस्कार दोस्तों , आज हम Special angles trigonometric ratios से सम्बंधित प्रश्नों को हल करना सीखेगें So दोस्तों मै ये आप लोगों से आसा करता हूँ की आप 30० ,30० ,60० और 90० के कोणों से अबतक परिचित हो चुके होंगे.

Special angles trigonometric ratios

आज हम इन्ही Special angles trigonometric ratios को ज्ञात करना सीखेंगें तो आइये दोस्तों इसे समझने का प्रयास करते है. दोस्तों यदि आपको Special angles trigonometric ratios का basic knowledge नहीं है तो  निचे दिए गए पोस्ट एक बार जरुर पद लिजिएगा-

Special angles trigonometric ratios से सम्बंधित प्रश्न

Trigonometry में 0० , 30० ,45० ,60० ,90०  को हम special angles कहते हैं और इन कोणों के trigonometric ratio को हम ज्ञात करने का प्रयास करेंगे इन ratio को हम Special angles trigonometric ratios कहा जाता है  so आईये देखते है –

Trigonometric ratio of 45०

So हम अब  निचे दिए गए fig को देखेंगे और समझने का प्रयास करेगें –

जैसा की ऊपर दिए गए fig में दिखाया गया है की ΔABC एक समकोण त्रिभुज है और इसका कोण ∠B=90० (समकोण ) है, So मान लिया की कोण C =45० है तो कोण ∠A भी 45० होगा because  हम जानते है की-

“किसी त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180० होता है ”

So ,  ∠A +∠B +∠C =180० ——–(1)

हमें ज्ञात है की ∠B =90० और C =45० का मान समीकरण 1 में रखने पर

=>∠A +45 +90 =180

So  ∠A +135 =180

As a result  ∠A = 180 – 135 =45

finally ∠A =45०  ,दिए गए समकोण त्रिभुज में ∠A =∠C =45०

त्रिभुज ΔABC में दोनों कोण ∠A और ∠C आपस में बराबर है इसलिए इसके सम्मुख भुजाये BC और AC भी आपस में बराबर होगें.

so , BC = BC =a ( मान लिया जैसा की fig में दिखाया गया है  ) तो AC =?.

यहाँ AC त्रिभुज का कर्ण है इसलिए अब हम पैथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके कर्ण निकालने का प्रयास करेंगे –

लम्ब +आधार 2 = कर्ण 2

So , कर्ण 2 =a 2 +a =2a

finally  कर्ण = a√2

अब हम कोण “C=45० ” के सन्दर्भ में त्रिकोंमितीय अनुपातों को ज्ञात करेंगे कोण C के लिए –

लम्ब (l)=AB = a

आधार(b)=BC =a

कर्ण (h) =AC =a√2

So अब हम इनके मदद से सभी त्रिकोंमितीय अनुपातों को ज्ञात करने का प्रयास करेंगें

Sin 45० =l/h =a /a√2 = 1/√2

Cos 45० =b/h =a /a√2 =1/√2

Tan 45० =l/b =a/a =1

Cot 45० = b/l =a/a =1

Sec 45० =h /b =a√2/a =√2

Cosec 45० =h /l=a√2/a=√2

finally अब हमें 45० के सारे trigonometric ratio हमें ज्ञात हो चूका है.

Trigonometric ratio of 30० and 60०

So अब हम first of all निचे दिए गए fig से समझने का प्रयास करेंगे

जैसा की ऊपर fig में दिखाया गया है त्रिभुज Δ ABC एक समबाहुं त्रिभुज है जिसका प्रत्येक कोण 60० है और प्रत्येक भुजा आपस में बराबर है So ,

∠A =∠B = ∠C =60० और AB =BC =CA =2a (यहाँ हम इसे 2a सुविधा के लिए माना है यहाँ पर आप a भी मान सकते है) तथा ∠D =90० है

AD⊥BC है So  AD , BC पर  लम्ब है और AD ,BC को बराबर दो भागो में बांटता है  so BD =DC =a होगा

finally अब ΔABD और Δ ADC में हम जानते  है की –

AB =AC ,BD= DC और AD=AD (दोनों त्रिभुज में उभयनिस्ट है )

As a result  सर्वसमीका SSS(side – side -side) से ΔABD और Δ ADC आपस में सर्वागसम हैं

Note:-(i) सर्वसमीका SSS(side – side -side) के अनुसार यदि एक त्रिभुज की प्रत्येक संगत भुजाये दुसरे त्रिभुज की प्रत्येक सांगत भुजाओं के बराबर हो तो दोनों त्रिभुज आपस में सर्वागसम होते है 

जब दो त्रिभुज आपस में सर्वागसम होते है तो इनके सारी भुजाये और सभी कोण आपस में बराबर होती है.

So  ∠BAD = ∠DAC =60/2 =30०  ,  ∠ABD =∠ACD =60० और ∠ADB =∠ADC =90०

अब हम दोनों त्रिभुजों (ΔABD और Δ ADC) में किसी एक त्रिभुज को लेकर इनके सारें त्रिकोंमितीय अनुपात ज्ञात करने की कोसिस करेंगे.

मान लिया त्रिभुज ΔABD में- ∠ABD =60० के लिए

लम्ब (l) =AD = ?

आधार (b)=BD =a

कर्ण (h) =AC =2a

पैथागोरस प्रमेय से हम जानते है की –

=> l = √(h2 – b2) =√((2a)2 – a2)=√(4a2 – a2)=√3a2 =a√3

So  l =a√3 ,b =a ,h =2a

अब हम कोण “B=60० ” के सन्दर्भ में त्रिकोंमितीय अनुपातों को ज्ञात करेंगे कोण B के लिए –

लम्ब (l)=AD = a√3

आधार(b)=BD =a

कर्ण (h) =AB =2a

So अब हम इनके मदद से सभी त्रिकोंमितीय अनुपातों को ज्ञात करने का प्रयास करेंगें

Sin 60० =l/h =a√3/2a =√3/2

Cos 60० =b/h =a /2a =1/2

Tan 60० =l/b =a√3/a =√3

Cot 60०= b/l =a/a√3 =1/√3

Sec 60० =h /b =2a/a =2

Cosec 60०  =h /l=2a/a√3=2/√3

finally हमें 60० के सारे trigonometrical ratio ज्ञात है

So अब हम कोण “A=30० ” के सन्दर्भ में त्रिकोंमितीय अनुपातों को ज्ञात करेंगे कोण A के लिए –

लम्ब (l)=BD = a

आधार(b)=BD =a√3

कर्ण (h) =AB =2a

finally अब हम इनके मदद से सभी त्रिकोंमितीय अनुपातों को ज्ञात करने का प्रयास करेंगें

Sin 30० =l/h =a/2a  = 1/2

Cos 30० =b/h =a√3 /2a  = √3/2

Tan 30० =l/b =a/a√3 = 1/√3

Cot 30०= b/l =a√3/a =√3

Sec 30० =h /b =2a/a√3 =2/√3

Cosec 30०  =h /l=2a/a = 2

finally हमें 30 के trigonometric ratio का value हमें ज्ञात हो गया है

Trigonometric ratio of 0० and 90०

So अब हम इसको निचे दिए गए fig से समझने का प्रयास करेंगे-

ऊपर दिए गए त्रिभुज ABC में ∠ABC =90०(समकोण) जहाँ ∠C के लिए –

लम्ब (l)= AB  , आधार (b)=BC ,और  कर्ण (h) = AC

यदि कोण C को इतना छोटा कर दिया जाय की  ∠C =0०  हो जाय तो AB=0 और  BC=AC होगा 

So लम्ब (l)= AB =0  , आधार (b)=BC=AC  ,और  कर्ण (h) = AC =BC

Sin 0० =l/h =AB/AC  = 0/AC =0

Cos 0० =b/h =BC /AC  = AC/AC =1

Tan 0० =l/b =AB/BC = 0/BC =0

Cot 0०= b/l =BC/AB =BC/0 =∞

Sec 0० =h /b =AC /BC =AC /AC =1

Cosec 0०  =h / l= AC / AB  = AC /0 = ∞

finally 0० के सारे trigonometrical ratio हमें प्राप्त हो गया है

यदि कोण C को इतना बड़ा  कर दिया जाय की  ∠C =90०  हो जाय तो BC=0 और  AB=AC होगा 

finally कोण c के लिए -लम्ब (l)= AB  , आधार (b)=BC ,और  कर्ण (h) = AC

Sin 90० =l/h =AB/AC  = 0/AC =0

Cos 90० =b/h =BC /AC  = 0/AC =0

Tan 90० =l/b =AB/BC = AB/0 =∞

Cot 90०= b/l =BC/AB =0/AB =0

Sec 90० =h /b =AC /BC =AC /0 = ∞

Cosec 90०  =h / l= AC / AB  = AC /AC =1

finally  हमें ∠C =90० और ∠C =0० का value हमें ज्ञात हो गया.

हमें आशा है की आप इन सभी Special angles trigonometric ratios को ज्ञात करना सिख गए होगें

अब हम finally  इन सारे Special angles trigonometric ratios को निचे दिए गए सारणी से हमेसा याद रखेगें

finally अब हम इन मानों का प्रयोग करके Special angles trigonometric ratios के कुछ महत्त्व पूर्ण प्रश्नों का हल करना सीखेंगें तो चलिए देखते है

Q(1)किसी त्रिभुज ABC में जिसका ∠B समकोण है  जहाँ AB =5cm और ∠ACB =30० है जैसा की निचे दिए गए आकृति में दिखाया गया है तो भुजा BC और AC का मान ज्ञात कीजिये.

Special angles trigonometric ratios question1

 

हल:- ऊपर दिए गए fig में  ∠B =90० और ∠C =30० ,AB =5cm , हमें ज्ञात करना है की – BC =? और AC =?

So हम जानते है की ∠C =30० के लिए लम्ब (l )=AB =5cm  , आधार (b)=BC =? और कर्ण (h)=AC =?

Sin 30 =l /h = AB /AC = 5 /AC

=>1/2 =5 /AC

So , AC =5*2 =10 cm Ans

Tan 30 =AB /BC =5/BC

=>1/√3=5/BC

So , BC =5 * √3 = 5 √3 Ans

finally  AC =10cm और BC =5 √3 Ans

Q(2)त्रिभुज ΔPQR में जिसमे कोण ∠Q =90० है जैसा की निचे दिए गए fig में दिखाया गया है PQ =3cm  , PR =6 cm तो ∠QPR और ∠PRQ ज्ञात कीजिये.

हल:- जैसा की ऊपर fig में दिखाया गया है की  PQ =3 cm , PR = 6 cm

Sin R = 6 /3 =1/2 =Sin 30

So , ∠PRQ =30० Ans

As a result ,  ∠RPQ =90० -30० = 60० Ans

Q(3) यदि Sin (A-B) =1/2  और Cos (A + B ) = 1/2 , 0०<(A + B)≤90० और A>B तो A और B का value ज्ञात कीजिये ? 

हल :- प्रश्न में  दिया गया है –

Sin (A-B) =1/2 =Sin30

So , A – B = 30 ——(1)

Cos (A + B ) = 1/2=Cos 60

So ,  A + B = 60 —–(ii)

So अब समीकरण (1)और समीकरण (ii) को जोड़ने पर

=>A + B + A – B = 60 +30 =90

So , A + A =90

So 2 A =90  , finally A = 90 /2 =45०

finally A का value समीकरण (ii) में रखने पर

A + B = 60  So,  45 + B = 60

So,  B =60 -45 =15०

As a result  A =45० और B = 15० Ans

Q(3) यदि Tan (A-B) =1/√3  और Tan (A + B ) = √3 , 0०<(A + B)≤90० और A>B तो A और B का value ज्ञात कीजिये ? 

हल :- प्रश्न में  दिया गया है –

Tan (A-B) =1/√3 =Tan 30

So , A – B = 30 ——(1)

Tan (A + B ) = √3=Tan 60

So A + B = 60 —–(ii)

finally समीकरण (1)और समीकरण (ii) को जोड़ने पर

=>A + B + A – B = 60 +30 =90

So 2 A =90  As a result  A = 90 /2 =45०

finally अब A का value समीकरण (ii) में रखने पर

A + B = 60   so  45 + B = 60

so  B =60 -45 =15०

As a result   A =45० और B = 15० Ans

Q(4) Sin 60 .Cos 30 + Cos 60 .Sin 30 का value ज्ञात कीजिये.

हल:– Sin 60.Cos 30 + Cos 60 . Sin 30

=√3/2 * √3/2 + 1 /2 * 1/2 = 3 /4 + 1 /4  =4/4 =1 Ans

Q(4) 2 tan 2 45 +Cos 2 30 +sin 60 का value ज्ञात कीजिये .

हल :- 2 tan 2 45 +Cos 2 30 +sin 60

= 2 . (1)  2+ (√3/2)+ (√3/2)2  =2 +3/4 +3/4 =2 +6/4 =14/4 =7/2 Ans

Q(5) Cos 45 /( Sec 30 + Cosec 30) का मान ज्ञात कीजिये.

हल :- Cos 45 /( Sec 30 + Cosec 30)

=(2/√3) / ( (2/√3) + 2) = (2/√3) /{(2+2√3)/√3}

=2/(2+2√3) Ans

Q(6) 2 tan 30 /(1 + tan 2 30) का value ज्ञात कीजिये ?

हल :-(2 *1/√3 )/(1 +(1/√3)2) = (2/√3 ) / (1 +1/3) =2/ √3 *3/4  = √3 /2 Ans

हम इस पोस्ट में केवल हमने Special angles trigonometric ratios के basics के बारे में  चर्चा किया है So यदि आप  Trigonometry को समझना चाहते है तो ऊपर दिए गए फोर्मुले और नियमों  को हमेसा अपने दिमाग में याद रखें.

यदि आपके दिमाग में इस टॉपिक से Related कोई भी प्रश्न हो तो हमें जरुर कमेंट करें मै आपसे वादा करता हूँ आपको आपके प्रश्न का हल जरुर दिया जायेगा.

दोस्तों finally मै आसा करता हु की Special angles trigonometric ratios के Basic Concept आपको समझ में आ गया होगा .यदि इस पोस्ट में आपको कोई doubt हो या कुछ न समझ में आया हो  तो हमें कमेंट के जरिये बताये  यदि आपको हमारा यह पोस्ट पसंद आया हो तो इसे like करे share करे-

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